Graficando un Sistema de Dos Desigualdades
La gráfica de una sola desigualdad lineal divide el eje de
coordenadas en dos regiones, A un lado están todas las soluciones posibles de
la desigualdad. Al otro lado, no hay soluciones. Considera la gráfica de la
desigualdad y < 2x + 5.
La línea punteada es y = 2x + 5. Cada par ordenado en
el área sombreada a la derecha de la línea es una solución de y <
2x + 5. ¿Escéptico? Intenta sustituyendo las coordenadas x y y de
los Puntos A y B en la desigualdad — verás que funcionan.
La región sombreada, el área del
plano que contiene todas las soluciones posibles a la desigualdad, se
llama región limitada. La
línea que marca el límite de la región se llama lógicamente línea límite. En este caso, está
punteada porque los puntos sobre la recta no satisfacen la desigualdad. Si lo
hicieran, como lo sería con la desigualdad y ≤ 2x + 5, entonces
la línea límite sería sólida.
Grafiquemos otra desigualdad: y > -x. Esta
desigualdad también define un medio
plano. Los puntos M y N están graficados dentro de la región limitada. Esto
significa que ambos puntos producen declaraciones válidas cuando sus coordenadas x y y son
sustituidas en la desigualdad y > -x.
Para crear un sistema de desigualdades, necesitamos graficar
dos o más desigualdades juntas. Usemos y < 2x + 5 y y >
-x ya que conocemos sus gráficas independientes.
¿Observas el área púrpura, donde las regiones límite de las
dos desigualdades se sobreponen? Esta es la solución del sistema de
desigualdades. Cualquier punto dentro de esta región púrpura será válido
para y > ‑x y para y < 2x + 5. Ambas
desigualdades definen regiones límite más grandes, pero el rango posible de
soluciones para el sistema consistirá en una región limitada más pequeña que es
la que tienen en común.
En la gráfica, puedes ver que los puntos B y N son
soluciones posibles para el sistema porque sus coordenadas volverán a ambas
desigualdades declaraciones verdaderas.
En contraste, los puntos M y A están fuera de la región
limitada compartida, Mientras que M es todavía una posible solución de la
desigualdad y > -x y el punto A es todavía una posible
solución de la desigualdad y < 2x + 5, ningún punto es una
solución válida para el sistema.
Identificando Soluciones
Para averiguar si un punto dado es
una solución de un sistema de desigualdades, podemos ver si se encuentra dentro
de la región común del sistema, Veamos algunos ejemplos
Determinar si (3, -2) es una solución posible del sistema:
y > 0.5x − 2
x + y ≤ 5
Antes de siquiera graficar el sistema podemos sustituir los
valores x = 3 y y = -2 en cada desigualdad y ver si
obtenemos declaraciones válidas. Esta es una manera rápida de determinar si un
punto dado es solución del sistema (aunque también haremos la gráfica del
sistema).
|
y > 0.5x − 2
|
-2 > 0.5(3) − 2
|
-2 > 1.5 − 2
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-2 > -0.5
|
declaración inválida
|
|
x + y ≤ 5
|
3 + (-2) ≤ 5
|
3 − 2 ≤ 2
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1 ≤ 2
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declaración válida
|
Obtuvimos una declaración válida y una declaración inválida,
lo que significa que este punto no será una solución del sistema, aunque
funcione para una de las desigualdades.
Ahora dibujemos la gráfica del sistema para ver en dónde se
encuentra el punto, y dónde está la región limitada. Para crear la gráfica del
sistema, trazaremos cada desigualdad, Primero graficamos la línea límite
de y > 0.5x − 2 y sombreamos la región por encima de la línea
(mostrada en rosa en la imagen de abajo) ya que los puntos en esa región
vuelven verdadera la desigualdad.
Luego graficamos la línea límite de x + y ≤
5, asegurándonos de trazar una línea sólida porque la desigualdad es ≤, y
sombreamos la región debajo de la línea (mostrada en azul) ya que esos puntos
son soluciones de la desigualdad. La región en la parte superior izquierda de
la gráfica se vuelve púrpura, porque es donde coinciden ambas soluciones para
cada desigualdad. Este es el conjunto solución del sistema.
El punto en cuestión, (3, -2), se encuentra dentro de la
región limitada de x + y ≤ 5 pero fuera de la región
limitada de y > 0.5x − 2. Por lo que no es una solución de
todo el sistema.
Sistemas Sin Solución
Algunas veces un sistema de desigualdades no tiene
soluciones. Esto puede pasar cuando las líneas límite son paralelas.
Considera el siguiente sistema:
y ≥ 2.5x + 4
y < 2.5x
La gráfica de este sistema se muestra abajo.
Las regiones límite de las dos desigualdades no se
sobreponen, por lo que no hay un conjunto solución.
Sin embargo, la existencia de líneas paralelas no
necesariamente significa que no hay solución, sólo significa que existe
la posibilidad de que no haya soluciones. Usando la misma gráfica,
piensa sobre la representación del sistema y > 2.5x yy ≤
2.5x + 4. Una banda delgada de posibles soluciones existe entre las dos
líneas paralelas.
Sumario
Los sistemas de desigualdades pueden ser graficados en el eje
de coordenadas. El conjunto solución de un sistema de desigualdades no es un
solo punto, sino toda una región definida por las áreas que se sobreponen de
cada desigualdad individual del sistema. Cada punto dentro de esta región será
una posible solución de ambas desigualdades y por lo tanto de todo el sistema.
Cuando dos desigualdades en un sistema no comparten una región común, el
sistema no tiene solución, y ningún punto será una solución para ambas
desigualdades.
