Propiedades de Orden de los Números Reales

Para poder explicar la Propiedades de los Números Reales se debe de saber los tipos de propiedades que existen entonces tenemos que:

Para todo a; b; c 2 R se cumple que

a + b = b + a; ab = ba (Propiedad Conmutativa)

a + (b + c) = (a + b) + c; a(bc) = (ab)c: (Propiedad Asociativa)

a + 0 = 0 + a = a; a  1 = 1  a = a (existencia del neutro)

a + 0 = a; a  1 = a: (Existencia del neutro)

Existen propiedades m as fundamentales con respecto a la de nici on

elemental del si mbolo ">", el cual ademas, puede ser interpretado de

distintas maneras.

Definicion:

Diremos que a es mayor a b y lo simbolizamos por a > b si y solo si
a - b es positivo. Diremos que b es menor que a y lo escribimos b < a si
se cumple que a > b:

Tricotomia. 

Dados a y b 2 R se cumple exactamente una de las

siguientes a rmaciones:

a = b:

a > b:

a < b:

Tricotomia. 

Dada a 2 R se cumple una y s olo una de las siguientes

a rmaciones:

a = 0:

a > 0:

-a > 0:

Transitividad. 

Dados a; b; c 2 R si

a > b

y

b > c

entonces

a > c

Densidad Dados

 a; b 2 R si a > b entonces existen un elemento x 2 R

tal que a > x y x > b:

La propiedad de la densidad

Es consecuencia directa de la de nici on de N UMERO REAL, el cual fu e creado pensando en la necesidad de tener n umeros \su cientes" para explicar el mundo real.

Axioma del supremo 

Sea A R tal que existe k 2 R con la propiedad de que k > a para toda a 2 R: Entonces existe un elemento s 2 R tal que cumple la propiedad anterior y adem as si k0 es otro n umero que cumple la propiedad entonces s < k0: